Persamaan & Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Persamaan Mutlak

Secara geometris, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Misalkan, nilai mutlak dari x ditulis |x|, yaitu jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu bernilai positif atau nol (tidak pernah bernilai negatif), maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap bilangan real.

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real. Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan$$\left|x\right|=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$atau dapat pula ditulis

| x | = -x    jika x ≥ 0

| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a

Catatan: 

Apabila kedua ruas memuat tanda mutlak, sifat a masih dapat digunakan, namun sifat b dan c sudah tidak dapat digunakan.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 7| = 3  ⇔  2x – 7 = 3  atau  2x – 7 = -3
|2x – 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x – 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.

Contoh 2
Tentukan HP dari |2x – 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 1| = |x + 4|

⇔  2x – 1 = x + 4  atau  2x – 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.

Contoh 4

Tentukan HP dari 2 < |x – 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x – 1| < 4 ekuivalen dengan
|x – 1| > 2  dan  |x – 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x – 1| > 2  ⇔  x – 1 < -2  atau  x – 1 > 2
|x – 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   …………….(1)

Berdasarkan sifat b :
|x – 1| < 4  ⇔  -4 < x – 1 < 4
|x – 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ……………………….(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi

|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 5
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x – 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x – 3|
|4x – 3| = 4x – 3       jika  x ≥ 3/4
|4x – 3| = -(4x – 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
|2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
|2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4

Contoh 6

Tentukan HP dari |x + 1| > 2x – 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x + 1 > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -(x + 1) > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -x – 1 > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}

Materi dan  latihan soal selengkapnya dapat Anda baca: