Trending

Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Pada Matriks

byaljabar23 -

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Tujuan dari pembelajaran matematika kali ini adalah memahami soal-soal matriks yang meliputi operasi penjumlahan matriks, operasi pengurangan matriks dan operasi perkalian matriks (perkalian matriks dengan skalar dan perkalian dua matriks).


Sebelum kita memasuki beberapa latihan soal tentang operasi hitung matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian), terlebih dahulu kita akan memahami tentang definisi matriks, langkah-langkah dalam melakukan penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.

Apa itu Matriks dan Orde Matriks

Mengingat Kembali 
Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Anggota bilangan-bilangan yang berada dalam susunan mendatar kita sebut dengan baris. Sedangkan untuk anggota bilangan yang menurun disebut dengan kolom.

Dari matrik diatas, kita dapat simpulkan bahwa :
  • Matriks A terdiri dari 3 baris dan 2 kolom
  • Matriks B terdiri dari 3 baris dan 3 kolom

Ordo matriks adalah ukuran matriks yang dinyatakan dalam baris (m) dikali kolom (n), biasanya dilambangkan dengan m x n untuk menyatakan orde matriks.

Matriks di atas memiliki orde :
  • Matriks A terdiri dari 3 baris dan 2 kolom, maka memiliki Ordo 3 x 2
  • Matriks B terdiri dari 3 baris dan 3 kolom, maka memiliki Ordo 3 x 3



Operasi Penjumlahan dan Pengurangan dalam matriks dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Artinya kedua matriks tersebut harus memiliki nilai ordo yang sama (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama).

Matriks yang berordo 3x4 (memiliki 3 dan 4 kolom) dapat dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan dengan matriks yang berordo sama, yaitu matriks ordo 3x4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 (matriks ordo 3x4) tidak bisa dijumlahkan atau dikurangi dengan matriks yang memiliki jumlah baris 4 dan kolom 3 (maktriks ordo 4x3).

Dengan demikian dapat kita simpulkan syarat dalam operasi Penjumlahan dan Pengurangan:
  • Ordo kedua matriks yang dijumlahkan/ dikurangkan harus sama
  • Setiap unsur yang letaknya bersesuaian dijumlahkan/dikurangkan

Sifat-Sifat OperasiPenjumlahan dan Pengurangan Matriks:
  • A + B = B + A (Komutatif)
  • A - B = A + (-B)
  • A - B ≠ B - A
  • (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Asosiatif)
  • A + 0 = A
  • A + (-A) = 0


Contoh Soal

Soal No.1
Lakukan operasi penjumlahan untuk matriks A dan matriks B :
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣		31⎤
⎥
⎥
⎦
42
 dan    B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		02⎤
⎥
⎥
⎦
13

Pembahasan
A + B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		31⎤
⎥
⎥
⎦
42
     + 
⎡
⎢
⎢
⎣		02⎤
⎥
⎥
⎦
13
A + B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		3 + 01 + 2⎤
⎥
⎥
⎦
4 + 12 + 3
A + B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		33⎤
⎥
⎥
⎦
55


Soal No.2
Lakukan operasi penjumlahan untuk matriks A dan matriks B :
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣		12139⎤
⎥
⎥
⎦
11221
5711
     B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		4168⎤
⎥
⎥
⎦
765
983

Pembahasan
A + B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		12139⎤
⎥
⎥
⎦
11221
5711
 +   
⎡
⎢
⎢
⎣		4168⎤
⎥
⎥
⎦
765
983
A + B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		12 + 413 + 169 + 8⎤
⎥
⎥
⎦
11 + 72 + 621 + 5
5 + 97 + 811 + 3
 = 
⎡
⎢
⎢
⎣		162917⎤
⎥
⎥
⎦
18826
141514


Soal No.3
Lakukan operasi pengurangan untuk matriks berikut ini :
M = 
⎡
⎢
⎢
⎣		213⎤
⎥
⎥
⎦
92
57
     N = 
⎡
⎢
⎢
⎣		268⎤
⎥
⎥
⎦
732
1283

Pembahasan
Dari matriks M dan matriks N, kita tidak dapat melakukan operasi pengurangan maupun penjumlahan. Hal ini dikarenakan kedua matriks tersebut tidak memiliki ukuran atau Ordo yang sama, dimana :
  • Matriks M memiliki Ordo 3x2
  • Matriks N memiliki Ordo 3x3


Soal No.4
Misalkan diberikan matriks sebagai berikut :
A = 
⎡
⎣		4313⎤
⎦
     B = 
⎡
⎣		2138⎤
⎦
Tentukan pengurangan dari matriks A dan matriks B atau ( A - B ) ?

Pembahasan
A - B = 
⎡
⎣		4313⎤
⎦
 - 
⎡
⎣		2138⎤
⎦
A - B = 
⎡
⎣		4 - 23 - 1313 - 8⎤
⎦
A - B = 
⎡
⎣		2-105⎤
⎦


Soal No.5
Terdapat tiga buah matriks sebagai berikut :
A = 
⎡
⎢
⎣		51⎤
⎥
⎦
-20
     B = 
⎡
⎢
⎣		-34⎤
⎥
⎦
21
     C = 
⎡
⎢
⎣		-32⎤
⎥
⎦
56

Tunjukkan bahwa A + (B + C) = (A + B) + C

Pembahasan
1. Kita cari hasil dari A + (B + C)
A + (B + C) = 
⎡
⎢
⎣		51⎤
⎥
⎦
-20
 +    
⎡
⎢
⎢
⎣
 
⎡
⎢
⎣		-34⎤
⎥
⎦
21
 +    
⎡
⎢
⎣		-32⎤
⎥
⎦
56
 
⎤
⎥
⎥
⎦
A + (B + C) = 
⎡
⎢
⎣		51⎤
⎥
⎦
-20
 +    
⎡
⎢
⎣		-3 + (-3)4 + 2⎤
⎥
⎦
2 + 51 + 6
A + (B + C) = 
⎡
⎢
⎣		51⎤
⎥
⎦
-20
 +    
⎡
⎢
⎣		-66⎤
⎥
⎦
77
A + (B + C) = 
⎡
⎢
⎣		-17⎤
⎥
⎦
57

2. Kita cari hasil (A + B) + C
(A + B) + C = 
⎡
⎢
⎢
⎣
 
⎡
⎢
⎣		51⎤
⎥
⎦
-20
 + 
⎡
⎢
⎣		-34⎤
⎥
⎦
21
 
⎤
⎥
⎥
⎦
 +    
⎡
⎢
⎣		-32⎤
⎥
⎦
56
(A + B) + C = 
⎡
⎢
⎣		5 + (-3)1 + 4⎤
⎥
⎦
-2 + 20 + 1
 +   
⎡
⎢
⎣		-32⎤
⎥
⎦
56
(A + B) + C = 
⎡
⎢
⎣		25⎤
⎥
⎦
01
 +   
⎡
⎢
⎣		-32⎤
⎥
⎦
56
(A + B) + C = 
⎡
⎢
⎣		-17⎤
⎥
⎦
57

Dengan demikian kita dapat matriks yang sama antara A + (B + C) dengan (A + B) + C . Sehingga dapat kita simpulkan bahwa A + (B + C) = (A + B) + C


Operasi Perkalian Matriks

Operasi perkalian matriks terdiri dari dua model :
  • Perkalian Matriks dengan Skalar
  • Perkalian Dua Matriks

1. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika terdapat sebuah matriks A dan k sembarang skalar, maka kA = Ak dimaksudkan suatu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengkalikan setiap elemennya dengan suatu bilangan real k. Hasil kali kA adalah sebuah matriks lain yang mempunyai m baris dan n kolom jika A mempunyai m baris dan n kolom.

Untuk lebih jelasnya perhatikan cara perkalian matriks dengan k sembarang skalar di bawah ini :


k 
⎡
⎢
⎢
⎣		abc⎤
⎥
⎥
⎦
def
ghi
 =   
⎡
⎢
⎢
⎣		kakbkc⎤
⎥
⎥
⎦
kdkekf
kgkhki

Contoh:
Jika terdapat sebuah matrik C
C = 
⎡
⎢
⎣		710⎤
⎥
⎦
820
maka 3C = 3 
⎡
⎢
⎣		710⎤
⎥
⎦
820
 =   
⎡
⎢
⎣		2130⎤
⎥
⎦
2460

2. Perkalian Dua Matriks

Berikut ini adalah poin-poin penting perkalian dua matriks, misalkan kita memiliki matriks A dan matriks B, maka:
  • Perkalian kedua matriks dapat dilakukan dengan syarat :Banyaknya kolom pada matriks A = Banyak baris pada matriks B
  • Hasil perkalian dua matriks tersebut akan menghasilkan matriks yang berOrdo sama dengan matriks A

Contoh:
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣		12⎤
⎥
⎥
⎦
34
56
 dan B = 
⎡
⎢
⎣		710⎤
⎥
⎦
820

A . B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		1.7 + 2.81.10 + 2.20⎤
⎥
⎥
⎦
3.7 + 4.83.10 + 4.20
5.7 + 6.85.10 + 6.20
A . B = 
⎡
⎢
⎢
⎣		2350⎤
⎥
⎥
⎦
53110
83170

Tags

Post a Comment

Previous Post Next Post

Contact Form